Question

如图：四棱锥A-BCQP中，二面角A-BC-P为90°，且∠BAC=∠BCQ=90°，∠CBP=45°BP+AP=BC，AB=AC=B．
（Ⅰ）求证：平面AB⊥平面ACQ；
（Ⅱ）求直线AP与平面ACQ所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）证明AB⊥AC，AB⊥QC，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面ACQ；
（Ⅱ）设线段BC的中点是O，连接OP，OA，设PO′⊥平面ACQ于O′，则∠PAO′是AP与平面ACQ所成的角，∠PAO′与∠BAP互余，求得∠BAP=60°，即可得到结论．
解答：（Ⅰ）证明：∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC
∵侧面ABC⊥底面BCQP且∠BCQ=90°，∴QC⊥平面ABC
∵AB?平面ABC
∴AB⊥QC
∵AC∩QC=C
∴AB⊥平面ACQ；
（Ⅱ）解：设线段BC的中点是O，连接OP，OA
设PO′⊥平面ACQ于O′，则∠PAO′是AP与平面ACQ所成的角
由（Ⅰ）知AB⊥平面ACQ，AB∥PO′，∠PAO′与∠BAP互余
∵AB=AC=，∠BAC=90°，∴BC=2，AO⊥BC，∴AO⊥平面BCQP
设BP=x，∵BP+AP=BC，∴AP=2-x，AO=BO=1，OP²=（2-x）²-1
在△OPB中，由余弦定理得OP²=OB²+BP²-2OB×BPcos45°，∴x=
∴△ABP为等边三角形
∴∠BAP=60°
∴∠PAO′=30°，即直线AP与平面ACQ所成角为30°．
点评：本题考查线面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出线面角，属于中档题．