Question

函数f（x）=3sin（ωx+φ）对任意的实数都有f(

π

3

+x)=f(

π

3

-x)恒成立，设g（x）=3cos（ωx+φ）+1，则g(

π

3

)=

 

．

Answer 1

分析：由f(

π

3

+x)=f(

π

3

-x)恒成立，可得函数f（x）的图象关于x=

π

3

对称，根据正弦及余弦函数的对称性的性质可得（x）=3sin（ωx+φ）的对称轴为函数g（x）=3cos（ωx+φ）+1的对称中心，可求

解答：解：∵任意的实数都有f(

π

3

+x)=f(

π

3

-x)恒成立，
∴函数f（x）的图象关于x=

π

3

对称
∵f（x）=3sin（ωx+φ）的对称轴为函数g（x）=3cos（ωx+φ）+1的对称中心
故有则g(

π

3

)=1
故答案为：1

点评：本题是一道综合性非常好的试题，灵活运用了性质：若函数f（x+a）=f（a-x）?函数关于x=a对称（ 区别：f（x+a）=f（x-a）?T=2a），解决本题的令一个关键点是根据正弦及余弦函数的性质可得f（x）=3sin（ωx+φ）的对称轴为函数g（x）=3cos（ωx+φ）+1的对称中心，这也是本题的“题眼”．