Question

由9个正数组成的数阵 每行中的三个数成等差数列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列．给出下列结论：
①第二列中的a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比数列；
②第一列中的a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比数列；
③a₁₂+a₃₂≥a₂₁+a₂₃；
④若9个数之和大于81，则a₂₂＞9．
其中正确的序号有    ．（填写所有正确结论的序号）．

Answer 1

【答案】分析：先由题意设列出由9个正数组成的矩阵是：，由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列，则有：（b+m）²=（a+d）（c+n），得出①正确；再由（a+d）+（c+n）≥2 得到③正确；再根据题设列举出由9个正数组成的特殊矩阵判断②正确即可．通过举反例可得④不正确．
解答：解：由题意设由9个正数组成的矩阵是：，由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列，则有：（b+m）²=（a+d）（c+n），故①正确．
由于（a+d）+（c+n）≥2=2（b+m），故③正确．
再题意设由9个正数组成的矩阵是： 故②正确．
对于④，若9个数之和大于81，即3（a+d+b+m+c+n）＞81，∴b+m+a+d+c+n＞27，但不能推出 b+m＞9．
如当a+d=3，b+m=9，c+n=27 时，a₂₂=b+m=9，故④不正确．
综上可得，正确的序号有①②③，
故答案为 ①②③．
点评：本小题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、三阶矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．