Question

13．若x＞$\frac{2}{3}$，则y=x+$\frac{4}{3x-2}$的最小值是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
若x＜2，则y=$\frac{5-4x+{x}^{2}}{2-x}$的最小值是2．

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质求出最小值即可．

解答 解：（1）若x＞$\frac{2}{3}$，则3x-2＞0，
∴y=x+$\frac{4}{3x-2}$=$\frac{1}{3}$（3x-2）+$\frac{4}{3x-2}$+$\frac{2}{3}$≥2$\sqrt{\frac{1}{3}（3x-2）•\frac{4}{3x-2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
当且仅当$\frac{1}{3}$（3x-2）=$\frac{4}{3x-2}$即x=$\frac{2}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{9}$时“=”成立；
（2）若x＜2，则2-x＞0，
∴y=$\frac{5-4x+{x}^{2}}{2-x}$=$\frac{{（2-x）}^{2}+1}{2-x}$=（2-x）+$\frac{1}{2-x}$≥2$\sqrt{（2-x）•\frac{1}{2-x}}$=2，
当且仅当2-x=$\frac{1}{2-x}$即x=1时“=”成立；
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，2．

点评 本题考察了基本不等式的性质，注意满足条件“一正二定三相等”的条件，本题是一道基础题．