Question

(本小题满分12分）

某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草. 为增强观赏性，在椭圆内以其

中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草（如图），并以该直角三角

形斜边开辟观赏小道（其中的一条为线段）. 某园林公司承接了该中心花园的施工建设，

在施工时发现，椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点的距离和为4（单位：百米），且椭圆上点

到焦点的最近距离为1（单位：百米）.

（Ⅰ）以椭圆中心为原点建立如图的坐标系，求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）请计算观赏小道的长度（不计小道宽度）的最大值.

Answer 1

(本小题满分12分）

解：(Ⅰ) 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由已知，2a＝4，a－c＝1，a＝2，c＝1，

∴b＝，故椭圆的标准方程＋＝1.……3分

(Ⅱ)①若该直角三角形斜边斜率存在且不为0，

设直角三角形斜边所在直线方程为y＝kx＋m，斜边与椭圆的交点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

联立方程组         y=kx+m

                    ＋＝1

得3x²＋4(kx＋m)²＝12，即(3＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－12＝0，

则Δ＝64k²m²－4(3＋4k²)(4m²－12)＝48(4k²－m²＋3)>0，即4k²－m²＋3>0.

x₁+ x₂= -  8km

3＋4k²

x₁ x₂=    ，    …………6分

y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝k²－＋m²

＝，

要使△AOB为直角三角形，需使x₁x₂＋y₁y₂＝0，

即＋＝0，所以7m²－12k²－12＝0， …………8分

即m²＝，故4k²－m²＋3＝4k²＋3－＝>0，

所以|AB|＝＝＝

＝

＝＝

＝≤.

当仅当16k²＝，k＝±时，等号成立. …………10分

②若该直角三角形斜率不存在或斜率为0，则斜边长为.

综上可知，观赏小道长度的最大值为2(百米). …………12分