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(文科)对于二项式(
1x
+x3
n(n∈N*),4位同学作出了4种判断:①存在n∈N*,使展开式中没有常数项;②对任意n∈N*,展开式中没有常数项;③对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项;④存在n∈N*,使展开式中有x的一次项.上述判断中正确的是
①④
①④
分析:利用其项Tr+1=
C
r
n
•x4r-n对①②③④逐个分析,即可得到答案.
解答:解:设二项式(
1
x
+x3
n(n∈N*)的通项为Tr+1
则Tr+1=
C
r
n
•xr-n•x3r=
C
r
n
•x4r-n
显然存在1∈N*,使展开式中没有常数项;故①正确;
不妨令n=4,r=1,展开式中有常数项,故②错误;
再令n=3,r=1,则T2=
C
1
3
x=3x,故③错误,而④正确.
综上所述,判断中正确的是①④.
故答案为:①④.
点评:本题考查二项式定理,关键在于合理利用其通项公式进行综合分析,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题.
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