Question

求下列圆锥曲线的标准方程
（1）以双曲线

y2

2

-x2=1的顶点为焦点，离心率e=

2

2

的椭圆
（2）准线为x=

4

3

，且a+c=5的双曲线
（3）焦点在y轴上，焦点到原点的距离为2的抛物线．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），根据题意得c=

2

．再由椭圆的离心率算出a=2，从而得b²=a²-c²=2，得到所求椭圆的方程；
（2）根据双曲线的准线方程，可得

a2

c

=

4

3

．结合a+c=5解之得a=2且c=3，从而算出b²=c²-a²=5，由此即可得到所求双曲线的方程；
（3）根据题意设抛物线的方程为x²=2py或x²=-2py（p＞0），结合题意建立关于p的方程，解出p=4，从而得到所求抛物线的标准方程．

解答：解：（1）∵双曲线

y2

2

-x2=1的顶点坐标为（0，±

2

），
∴所求椭圆的焦点为（0，±

2

），可得c=

2

…2分
又∵椭圆的离心率e=

c

a

=

2

2

，可得a=

2

c=2，b²=a²-c²=2…3分
∴所求椭圆方程为

y2

4

+

x2

2

=1；…4分
（2）∵双曲线的准线方程为x=

4

3

，∴

a2

c

=

4

3

，结合a+c=5解得a=2，c=3
∴b²=c²-a²=5  …（2分）
∴所求双曲线方程为

x2

4

-

y2

5

=1…（4分）
（3）根据题意，设抛物线的方程为x²=2py或x²=-2py（p＞0）
∵抛物线的焦点坐标为（0，±2），
∴

1

2

p=2，可得p=4…（2分）
∴所求抛物线方程为x²=8y或x²=-8y…（4分）

点评：本题给出圆锥曲线满足的条件，求它们的标准方程．着重考查了椭圆、双曲线和抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．