精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
数列{an}是等差数列,数列{bn}满足bn=anan+1an+2(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Sn
(1)若数列{an}的公差d等于首项a1,试用数学归纳法证明:对于任意n∈N*,都有Sn=
(2)若数列{an}满足:3a5=8a12>0,试问n为何值时,Sn取得最大值?并说明理由.
【答案】分析:(1)当n=1时,S1=b1==b1,原式成立.假设当n=k时,Sk=成立,由此证明n=k+1时,等式仍然成立.
(2)由3a5=8a12>0,知3a5=8(a5+7d),a5=->0,所以d<0.由a16=a5+11d=->0,a17=a5+12d=<0,知a1>a2>a3>…>a16>0>a17>a18,b1>b2>b3>…>b14>0>b17>b18,由此能够推导出Sn中S16最大.
解答:解:(1)证明:当n=1时,S1=b1==b1,原式成立.(1分)
假设当n=k时,Sk=成立,(2分)
则Sk+1=Sk+bk+1=(4分)
====(6分)
所以n=k+1时,等式仍然成立,故对于任意n∈N*,都有Sn=;(8分)
(2)因为3a5=8a12>0,所以3a5=8(a5+7d),a5=->0,所以d<0
又a16=a5+11d=->0,a17=a5+12d=<0,(11分)
所以a1>a2>a3>…>a16>0>a17>a18,b1>b2>b3>…>b14>0>b17>b18
因为b15=a15a16a17<0,b16=a16a17a18>0,(13分)
a15=a5+10d=->0,a18=a5+13d=<0,
所以a15<-a18,所以b15>-b16,b15+b16>0,(15分)
故S16>S14,所以Sn中S16最大.(16分)
点评:本题考查数列和函数的综合运用,解题时要认真审题,注意数列归纳法的合理运用,恰当地进行等价转化.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知
i
=(1,0),
jn
=(cos2
2
,sin
2
),
Pn
=(an,sin
2
)(n∈N+),数列{an}
满足:a1=1,a2=1,an+2=(i+
jn
)•
Pn

(I)求证:数列{a2k-1}是等差数;数列{a2k}是等比数列;(其中k∈N*);
(II)记an=f(n),对任意的正整数n≥2,不等式(cosnπ)[f(n2)-λf(2n)]≤0,求λ的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知
i
=(1,0),
jn
=(cos2
2
,sin
2
),
Pn
=(an,sin
2
)(n∈N+),数列{an}
满足:a1=1,a2=1,an+2=(i+
jn
)•
Pn

(I)求证:数列{a2k-1}是等差数;数列{a2k}是等比数列;(其中k∈N*);
(II)记an=f(n),对任意的正整数n≥2,不等式(cosnπ)[f(n2)-λf(2n)]≤0,求λ的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2009-2010学年重庆市南开中学高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

已知满足:
(I)求证:数列{a2k-1}是等差数;数列{a2k}是等比数列;(其中k∈N*);
(II)记an=f(n),对任意的正整数n≥2,不等式(cosnπ)[f(n2)-λf(2n)]≤0,求λ的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案