Question

1．已知n∈N^*时点A_n（n，a_n）都在直线l上，点Bn（n，b_n）都在函数y=2^x上，a₁=1，a₂=3．
（1）求直线l的方程；
（2）若数列{C_n}满足C_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}\\;1≤n≤4}\\{{b}_{n}\\;n≥5}\end{array}\right.$，求数列{C_n}的前n项和T_n；
（3）若点P₁与A₁重合，且$\overrightarrow{{P}_{n}{P}_{n+1}}$=（a_n，b_n）（n∈N^*），求点P_n的坐标．

Answer 1

分析 （1）通过设直线l的方程为y=kx+b，并代入a₁=1、a₂=3计算出k、b的值，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知a_n=2n-1，利用b_n=2ⁿ，可得数列{C_n}的通项公式，进而利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论；
（3）通过设P_n（x_n，y_n）（n∈N^*），利用$\overrightarrow{{P}_{n}{P}_{n+1}}$=（a_n，b_n）（n∈N^*）及累加法计算即得结论．

解答 解：（1）设直线l的方程为：y=kx+b，
∵a₁=1，a₂=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=k+b}\\{3=2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线l的方程为：y=2x-1；
（2）由（1）可知：a_n=2n-1，
又∵b_n=2ⁿ，
∴C_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，}&{1≤n≤4}\\{{2}^{n}，}&{n≥5}\end{array}\right.$，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}，}&{1≤n≤4}\\{14+{2}^{n-3}，}&{n≥5}\end{array}\right.$；
（3）设P_n（x_n，y_n）（n∈N^*），
∵$\overrightarrow{{P}_{n}{P}_{n+1}}$=（a_n，b_n）（n∈N^*），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n}-{x}_{n-1}={a}_{n-1}}\\{{y}_{n}-{y}_{n-1}={b}_{n-1}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n-1}-{x}_{n-2}={a}_{n-2}}\\{{y}_{n-1}-{y}_{n-2}={b}_{n-2}}\end{array}\right.$，…，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}-{x}_{1}={a}_{1}}\\{{y}_{2}-{y}_{1}={b}_{1}}\end{array}\right.$，
分别并项相加可得：x_n=n²-2n+2，y_n=2ⁿ-1，
又∵点P₁与A₁重合，
∴x_n=n²-2n+2，y_n=2ⁿ-1，
∴P_n（n²-2n+2，2ⁿ-1）（n∈N^*）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．