【题目】已知函数f(x)=alnx﹣3x在x处取得极值.
(1)若对任意x∈(0,+∞),f(x)≤m恒成立,求实数m的取值范围;
(2)讨论函数F(x)=f(x)+x2+k(k∈R)的零点个数.
【答案】(1)[﹣ln3﹣1,+∞);(2)答案不唯一,见解析
【解析】
(1)求导后,根据已知条件可得的值,进而判断函数的单调性,由此求出函数在定义域上的最大值,进而求得实数的取值范围;
(2)利用导数求出当变化时,,的变化情况,进而讨论得出结论.
(1)∵,
由题意,,
∴a=1,
∴,
当时,f′(x)<0,当时,f′(x)>0,
∴函数f(x)在上为增函数,在上为减函数,,
∴m≥﹣ln3﹣1,
即实数m的取值范围为[﹣ln3﹣1,+∞);
(2)F(x)=f(x)+x2+k=lnx﹣3x+x2+k,x∈(0,+∞),∴,
令F′(x)=0,解得,当x变化时,F(x),F′(x)的变化情况如下表,
x | 1 | (1,+∞) | |||
F′(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
F(x) | 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
而,
∴当且﹣2+k<0,即时,函数F(x)有3个零点;
当或﹣2+k=0,即或k=2时,函数F(x)有2个零点;
当或﹣2+k>0,即或k>2时,函数F(x)有1个零点.
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【题目】规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球 A 是指该球的球心点 A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为 1 的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:
(1) 如图,设母球 A 的位置为 (0, 0),目标球 B 的位置为 (4, 0),要使目标球 B 向 C(8, -4) 处运动,求母球 A 球心运动的直线方程;
(2)如图,若母球 A 的位置为 (0, -2),目标球 B 的位置为 (4, 0),能否让母球 A 击打目标 B 球后,使目标 B 球向 (8,-4) 处运动?
(3)若 A 的位置为 (0,a) 时,使得母球 A 击打目标球 B 时,目标球 B(4, 0) 运动方向可以碰到目标球 C(7,-5),求 a 的最小值(只需要写出结果即可)
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,∠DAB=60°.
(1)证明:AD⊥PB.
(2)若PB=,AB=PA=2,求三棱锥P-BCD的体积。
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【题目】将函数f(x)=cos(2x)的图象向左平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,则下列结论中正确的是_____.(填所有正确结论的序号)
①g(x)的最小正周期为4π;
②g(x)在区间[0,]上单调递减;
③g(x)图象的一条对称轴为x;
④g(x)图象的一个对称中心为(,0).
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【题目】某人承揽一项业务,需做文字标牌4个,绘画标牌5个,现有两种规格的原料,甲种规格每张3m2,可做文字标牌1个,绘画标牌2个,乙种规格每张2m2,可做文字标牌2个,绘画标牌1个,求两种规格的原料各用多少张,才能使总的用料面积最小?
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【题目】如图,一楼房高为米,某广告公司在楼顶安装一块宽为米的广告牌,为拉杆,广告牌的倾角为,安装过程中,一身高为米的监理人员站在楼前观察该广传牌的安装效果:为保证安全,该监理人员不得站在广告牌的正下方:设米,该监理人员观察广告牌的视角.
(1)试将表示为的函数;
(2)求点的位置,使取得最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数)曲线的普通方程为,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线和曲线的极坐标方程;
(2)射线:依次与曲线和曲线交于、两点,射线:依次与曲线和曲线交于、两点,求的最大值.
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