Question

如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，再根据动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变且点Q在曲线C上，可以求得|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4、曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆进而求出a，b，c得到曲线C的方程；
（Ⅱ）：先设M，N，E点的坐标分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），E（0，y），分析出过点B的直线l必与椭圆C相交；再根据，求出点M的坐标代入椭圆方程，同理求出点N的坐标代入椭圆方程，两个方程相结合即可求出结论．
解答：解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，
∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变、且点Q在曲线C上，
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4、
∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆
设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则2a=2，∴a=，c=2，b=1、
∴曲线C的方程为+y²=1（5分）
（Ⅱ）：设M，N，E点的坐标分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），E（0，y），
又易知B点的坐标为（2，0）、且点B在椭圆C内，故过点B的直线l必与椭圆C相交、
∵，∴（x₁，y₁-y）=λ₁（2-x₁，-y₁）、
∴，、（7分）
将M点坐标代入到椭圆方程中得：，
去分母整理，得λ₁²+10λ₁+5-5y²=0、（10分）
同理，由可得：λ₂²+10λ₂+5-5y²=0、
∴λ₁，λ₂是方程x²+10x+5-5y²=0的两个根，
∴λ₁+λ₂=-10、（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题以及向量知识的运用．解决第二问的关键在于根据，求出点M的坐标代入椭圆方程，利用其整理后的结论来解题．