Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90⁰，PA=PB，PC=PD.

(I) 试判断直线CD与平面PAD是否垂直，并简述理由；
（II）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（III）如果CD=AD+BC，二面角P-CB-A等于60⁰，求二面角P-CD-A的大小.

Answer 1

（I）不垂直.理由见解析；（II）详见解析；（III）二面角P-CD-A的大小为60⁰.

试题分析：（I）首先结合条件凭借自己的空间想象力判断.在本题中，PC=PD，则∠PCD=∠PDC不为直角，由此可知，直线CD与平面PAD不可能垂直.（II）证面面垂直，首先考虑证哪条线垂直哪个面.结合题设PA=PB取AB的中点E ，则PE⊥AB.再结合结论可知必有PE⊥平面ABCD，所以我们就考虑证明PE⊥平面ABCD.
（III）取AB、CD的中点有E、F，连结PE，PF，EF，则易得∠PFE即为二面角P-CD-A的平面角，且三角形PEF是一个直角三角形. 利用题设找到边与边的关系，在三角形PEF中即可求得∠PFE的大小.
试题解析：（I）不垂直
假设直线CD与平面PAD垂直，则CD⊥PD。
而在△PCD中，由PC=PD得∠PCD=∠PDC
∴∠PDC＜90⁰，这与CD⊥PD矛盾，
因此, 直线CD与平面PAD不垂直。
（II）取AB、CD的中点有E、F，连结PE，PF，EF，
由PA=PB，PC="PD," 得  PE⊥AB，PF⊥CD.
∵EF为直角梯形的中位线  ∴EF⊥CD、
又PFEF=F    ∴CD⊥平面PEF
由PE平面PEF   ∴CD⊥PE
又梯形的两腰AB与CD必相交，∴PE⊥平面ABCD
又PE平面PAB    ∴平面PAB⊥平面ABCD
（III）∠PFE即为二面角P-CD-A的平面角
作EG⊥BC于G，连PG。由三垂线定理得BC⊥PG，则∠PGE为二面角P-BC-A的平面角即∠PGE=60⁰
由已知得EF=（AD+BC）=，EG=CF=CD，∴EF=EG
而   ∴∠PFE=∠PGE=60⁰
即二面角P-CD-A的大小为60⁰。