Question

已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，数列{b_n}是等比数列，b₁=

1

2

，a₅-1恰为S₄与

1

b2

的等比中项，圆C：（x-2n）²+（y-

Sn

）²=2n²，直线l：x+y=n，对任意n∈N^*，直线l都与圆C相切．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若n=1时，c₁=1+

1

1 b1

，n≥2时，c_n=

1

1 bn-1 +1

+

1

1 bn-1 +2

+…+

1

1 bn

，{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意≥2，都有T_n＞

n

2

+1．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知圆心（2n，

Sn

）到直线l：x+y-n=0的距离d为

2

n，从而

Sn

=n，由此能求出a_n=2n-1．由a₅-1恰为S₄与

1

b2

的等比中项，a₅=9，S₄=16，b2=

1

2

q，得q=

1

2

，由此能求出b_n=(

1

2

)n．
（Ⅱ）由n≥2时，c_n=

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

＞

1

2n

+

1

2n

+…+

1

2n

=

2n-1

2n

=

1

2

，能证明对任意≥2，都有T_n＞1+

1

2

+

1

2

+…+

1

2

=

n

2

+1．

解答： （Ⅰ）解：圆C：（x-2n）²+（y-

Sn

）²=2n²的圆心为（2n，

Sn

），
半径为

2

n，对任意n∈N^*，直线l：x+y-n=0都与圆C：(x-2n)2+(y-

Sk

)2=2n²相切，
∴圆心（2n，

Sn

）到直线l：x+y-n=0的距离d为

2

n，
∴d=

|2n+ Sn -n|

2

=

2

n，解得

Sn

=n，
∴S_n=n²，n∈N^*，
当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，上式成立，∴a_n=2n-1．
设等比数列{b_n}的公比为q，则bn=

1

2

qn-1，
∵a₅-1恰为S₄与

1

b2

的等比中项，a₅=9，S₄=16，b2=

1

2

q，
∴（9-1）²=64=16×

1

1 2 q

，解得q=

1

2

，…（7分）
∴b_n=

1

2

(

1

2

)n-1=(

1

2

)n．…（8分）
（Ⅱ）证明：当n≥2时，
T_n=(1+

1

2

)+(

1

2+1

+

1

22

)+(

1

22+1

+

1

22+2

+

1

22+3

+

1

23

)+…+（

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

），
而n≥2时，c_n=

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

＞

1

2n

+

1

2n

+…+

1

2n

=

2n-(2n-1+1)+1

2n

=

2n-1

2n

=

1

2

，…（10分）
∴对任意≥2，都有T_n＞1+

1

2

+

1

2

+…+

1

2

=

n

2

+1．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，涉及到圆、直线方程、点到直线的距离公式的合理运用，是中档题．