Question

【题目】在直角梯形PBCD中，，，，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图．

（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）.

【解析】

试题分析：（I）由于只需证，而所以，所以，第一问得证；（II）以分别为轴建立空间直角坐标系，利用平面与平面的法向量来计算二面角的余弦值，进而求出正切值.

试题解析：

（法一）（I）由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；

（II）（三垂线法）由考虑在AD上取一点O，使得，从而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可

（法二：空间向量法）

（1）同法一

（2）以A为原点建立直角坐标系，易知平面ACD的法向为，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可

解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，

所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD是边长为2的正方形，

因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B

所以BC⊥平面SAB，

又SA平面SAB，

所以BC⊥SA，

又SA⊥AB，BC∩AB=B

所以SA⊥平面ABCD，

（2）在AD上取一点O，使，连接EO

因为，所以EO∥SA

因为SA⊥平面ABCD，

所以EO⊥平面ABCD，

过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，

则AC⊥平面EOH，

所以AC⊥EH．

所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，．

在Rt△AHO中，，

∴，

即二面角E﹣AC﹣D的正切值为

解法二：（1）同方法一

（2）解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，，）

∴平面ACD的法向为

设平面EAC的法向量为=（x，y，z），，

由，

所以，可取

所以=（2，﹣2，1）．

所以

所以

即二面角E﹣AC﹣D的正切值为