Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的 中点．

（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试
确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出 的值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD， 又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．
（Ⅱ）∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系如图．

则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0， ），B（0， ，0），C（﹣2， ，0），
设 （0＜λ＜1），则 ，
平面CBQ的一个法向量是 =（0，0，1），
设平面MQB的一个法向量为 =（x，y，z），
则 ，
取 = ，
∵二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，
∴ = ，
解得 ，此时 ．
【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．