Question

设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

B
分析：设体积为54的正四面体的棱长为a，由此可得BD=a，由中位线定理可知：=a，又由重心定理可知：，从而得出两个正四面体的相似比，即可得出所作四面体的体积．
解答：解：设体积为54的正四面体的棱长为a，如图，
G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别是三角形ABC，ACD的重心，BD=a，
由中位线定理可知：=a，
又由重心定理可知：，
故所作四面体与原四面体相似，相似比为
它们的体积比为，
则所作四面体的体积为=2
故选B．
点评：本小题主要考查棱锥，棱柱、棱锥、棱台的体积等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．