Question

如图为一几何体的平面展开图：
（1）沿图中虚线将它折叠成原几何体SABCD（使S₁、S₂、S₃、S₄重合于S），请画出其直观图；
（2）P、Q 分别是线段SD，AC上的动点，问DP，CQ满足什么条件时PQ∥平面SAB，并证明你的结论．
（3）求该几何体内切球的表面积．

Answer 1

分析：（1）由已知中的展开图可得该几何体是一个底面边长为4的正方形，棱锥的高为3，且顶点S在A的正上方，进而可得其直观图；
（2）当

DP

SD

=

CQ

AC

，即CQ=

4

5

2

DP时，PQ∥平面SAB，由平行线分线段成比例定理及线面平行的判定定理，可证结论；
（3）由（1）中分析可求出几何体的表面积及体积，进而根据V_S-ABCD=

1

3

S表r，求出内切球半径r，代入球的表面积公式，可得答案．

解答：解：（1）作出直观图…4’

（2）当

DP

SD

=

CQ

AC

，即CQ=

4

5

2

DP时，PQ∥平面SAB…6’
证明：作PM∥AD，QR∥AD分别交SA、AB于M、R，连结MR，
则由平行线分线段成比例定理的逆定理可得PM∥QR
∵

DP

SD

=

CQ

AC

∴

PM

AD

=

SP

SD

=

AQ

AC

=

QR

BC

∴PM=QR
∴PMRQ为平行四边形
PQ∥MR
∴PQ∥平面SAB…11’
（3）设内切球半径为r，
由已知中的展开图可知：
S_表=48
V_S-ABCD=16
由V_S-ABCD=

1

3

S表r，
可求得r=1，
∴该几何体内切球的表面积S=4πr²=4πcm²…16’

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，空间几何体的直观图，球的体积与表面积，根据展开图分析出几何体的形状是解答的关键．