Question

设a，a+1，2a-1为钝角三角形的三条边，那么实数a的取值范围是

1＜a＜

3

2

或a＞3．

．

Answer 1

分析：根据余弦定理，可得钝角三角形的最大边的平方大于另外两条边的平方和，由此建立不等关系，并结合三角形两边之和大于第三边加以计算，可得实数a的取值范围．

解答：解：由三角形两边之和大于第三边，
得

a+(a+1)＞2a-1 a+(2a-1)＞a+1

，解之得a＞1
①当a+1≥2a-1时，即1＜a≤2时，最大边为a+1，
可得a²+（2a-1）²＜（a+1）²，解之得1＜a＜

3

2

；
②当a+1＜2a-1时，即a＞2时，最大边为2a-1，
可得a²+（a+1）²＜（2a-1）²，解之得a＞3．
综上所述，实数a的取值范围是1＜a＜

3

2

或a＞3．
故答案为：1＜a＜

3

2

或a＞3．

点评：本题给出钝角三角形的三条边长为含有a的式子，求a的取值范围，着重考查了三角形两边之和大于第三边和钝角三角形的性质与判定等知识，属于中档题．