Question

用平行于空间四边形ABCD一组对边AC和BD的平面截此空间四边形得一四边形MNPQ,如图所示.

(1)四边形MNPQ是平行四边形吗?

(2)若AC=BD,能截得菱形吗?如果能,那么如何截?

(3)在什么情况下,可以截得一个矩形?

(4)在什么条件下,能截得一个正方形?如果能,该怎样截?(注:只需给出满足条件的一种情形即可)

(5)若AC=BD=a,求证:四边形MNPQ的周长为定值.

Answer 1

解析:(1)利用线面平行的性质定理及平行公理可得四边形MNPQ是平行四边形.

(2)由(1)的结论及截法知,是否能截得菱形取决于截点Q在AD上的位置,于是不妨设AQ∶QD=m∶n,并设AC=BD =a,MQ=x,PQ=y.

    又由(1)知,PQ∶AC=DQ∶DA=n∶(m-n).

∴y=PQ=nam+n,同理,x=MQ=.

    当m=n时,PQ=MQ,即Q平分AD时,四边形MNPQ为菱形.

(3)当MNPQ为矩形时,即PQ⊥MQ,∴AC⊥BD.

    即当AC⊥BD时,可截得一个矩形.

(4)综合(2)与(3)可知,当AC=BD,且AC⊥BD,Q平分AD时,四边形MNPQ为正方形.

(5)同(2)知,MQ+PQ==a.

∴四边形MNPQ的周长为定值2a.