分析 (1)首先可判断an>0恒成立,从而化简$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2(1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$),从而求得an=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$;
(2)化简bn=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$,从而写出Tn=$\frac{1}{3+1}$+$\frac{1}{3•2+1}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$<$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3•2}$+$\frac{1}{3•{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$,从而证明.
解答 (1)解:∵a1=$\frac{1}{2}$,an=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$,
∴an>0恒成立;
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+2}{{a}_{n-1}}$=1+$\frac{2}{{a}_{n-1}}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2(1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$),
且1+$\frac{1}{{a}_{1}}$=3,
故{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是以3为首项,2为公比的等比数列,
即$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=3•2n-1,
故an=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$;
(2)证明:∵bn=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$,
∴Tn=$\frac{1}{3+1}$+$\frac{1}{3•2+1}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$
<$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3•2}$+$\frac{1}{3•{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$
=$\frac{1}{4}$+$\frac{\frac{1}{6}(1-(\frac{1}{2})^{n-1})}{1-\frac{1}{2}}$<$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{12}$.
点评 本题考查了通过构造新数列求数列通项公式的方法应用及放缩法证明不等式的应用,属于中档题.
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t(时) | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
y(米) | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 1.0 | 0.5 | 0.99 | 1.5 |
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