Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$（n≥2，n∈N）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$，数列}{b_n}的前n项和记为T_n，求证：对任意的n∈N^*，T_n＜$\frac{7}{12}$．

Answer 1

分析 （1）首先可判断a_n＞0恒成立，从而化简$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2（1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），从而求得a_n=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$；
（2）化简b_n=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$，从而写出T_n=$\frac{1}{3+1}$+$\frac{1}{3•2+1}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$＜$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3•2}$+$\frac{1}{3•{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$，从而证明．

解答 （1）解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2}$，
∴a_n＞0恒成立；
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+2}{{a}_{n-1}}$=1+$\frac{2}{{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=2（1+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），
且1+$\frac{1}{{a}_{1}}$=3，
故{$\frac{1}{{a}_{n}}$+1}是以3为首项，2为公比的等比数列，
即$\frac{1}{{a}_{n}}$+1=3•2^n-1，
故a_n=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$；
（2）证明：∵b_n=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$，
∴T_n=$\frac{1}{3+1}$+$\frac{1}{3•2+1}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}+1}$
＜$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3•2}$+$\frac{1}{3•{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{3•{2}^{n-1}}$
=$\frac{1}{4}$+$\frac{\frac{1}{6}（1-（\frac{1}{2}）^{n-1}）}{1-\frac{1}{2}}$＜$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{12}$．

点评 本题考查了通过构造新数列求数列通项公式的方法应用及放缩法证明不等式的应用，属于中档题．