Question

已知为正整数，试比较n²与2ⁿ的大小．

Answer 1

解：当n=1时，n²＜2ⁿ； …（1分）
当n=2时，n²=2ⁿ； …（2分）
当n=3时，n²＞2ⁿ； …（3分
当n=4时，n²=2ⁿ； …（4分）
当n=5时，n²＜2ⁿ； 当n=6时，n²＜2ⁿ；
猜想：当n≥5时，n²＜2ⁿ…（5分）
下面下面用数学归纳法证明：
（1）当n=5时，由上面的探求可知猜想成立 …（6分）
（2）假设n=k（k≥5）时猜想成立，即2^k＞k²…（7分）
则2•2^k＞2k²，
∵2k²-（k+1）²=k²-2k-1=（k-1）²-2
当k≥5时（k-1）²-2＞0，
∴2k²＞（k+1）²
从而2^k+1＞（k+1）²
所以当n=k+1时，猜想也成立 …（9分）
综合（1）（2），对n∈N^*猜想都成立 …（10分）
分析：从n=1开始逐个验证，得出一般规律，猜想当n≥5时，n²＜2ⁿ，下面用数学归纳法证明即可．
点评：本题考查数学归纳法证明与正整数有关的命题，熟练应用数学归纳法的步骤是解决问题的关键，属中档题．