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9.已知向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为30°,且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$,|$\overrightarrow{b}$|=1.
(1)求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|和|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|的值;
(2)求两向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值.

分析 (1)先利用数量积求出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}、|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$,开方后得答案;
(2)求出($\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)•($\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$),结合(1)中的结果求得两向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值.

解答 解:(1)∵向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为30°,且|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$,|$\overrightarrow{b}$|=1,
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$3+1+2×\sqrt{3}×1×cos30°$=$4+2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=5$,
则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{5}$;
$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$3+1-2×\sqrt{3}×1×cos30°$=4$-2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=1$,
则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1;
(2)$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})•(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{b}{|}^{2}=3-1=2$.
由(1)知|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=5,|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1.
∴两向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角θ的余弦值cosθ=$\frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})•(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}=\frac{2}{5×1}=\frac{2}{5}$.

点评 本题考查平面向量的数量积运算,训练了由数量积求两向量的夹角的方法,是中档题.

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