【题目】在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:=1(a>b>0)的离心率为
,且过点
,点P在第四象限, A为左顶点, B为上顶点, PA交y轴于点C,PB交x轴于点D.
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 求 △PCD 面积的最大值.
【答案】(1)+y2=1;(2)
-1
【解析】
(1)由离心率,再把点
坐标代入
=1,结合
可求得
,得椭圆标准方程;
(2)设直线方程为
,可求得
的坐标,由
共线求得
点坐标,这样可求得
,令
换元后用基本不等式求得最大值.
(1) 由题意得:得a2=4,b2=1,
故椭圆C的标准方程为:+y2=1.
(2) 由题意设lAP:y=k(x+2),- <k<0,所以C(0,2k),
由消y得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,所以xAxP=
,
由xA=-2得xP=,故yP=k(xP+2)=
,
所以P,
设D(x0,0),因B(0,1),P,B,D三点共,所以kBD=kPB,故=
,
解得x0=,得D
,
所以S△PCD=SPAD-S△CAD=×AD×|yP-yC|
==
,
因为-<k<0,所以S△PCD=
=-2+2×
,
令t=1-2k,1<t<2,所以2k=1-t,
所以g(t)=-2+=-2+
=-2+≤-2+
=
-1,
当且仅当t=时取等号,此时k=
,所以△PCD面积的最大值为
-1.
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【题目】在直角坐标系中,圆
的参数方程为
(
为参数),以直角坐标系的原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)设曲线的极坐标方程为
,曲线
的极坐标方程为
,求三条曲线
,
,
所围成图形的面积.
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【题目】如图所示,已知矩形所在平面与半圆弧
所在平面垂直,
是半圆弧
上异于
,
的点.
(1)证明:平面平面
;
(2)若,
,当三棱锥
的体积最大且二面角
的平面角的大小为
时,试确定
的值.
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【题目】已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且acos C+asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若AD为BC边上的中线,cos B=,AD=
,求△ABC的面积.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,M是椭圆C的上顶点,
,F2是椭圆C的焦点,
的周长是6.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过动点P(1,t)作直线交椭圆C于A,B两点,且|PA|=|PB|,过P作直线l,使l与直线AB垂直,证明:直线l恒过定点,并求此定点的坐标.
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【题目】设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(﹣1,0).
(1)当l与x轴垂直时,求△ABM的外接圆方程;
(2)记△AMF的面积为S1,△BMF的面积为S2,当S1=4S2时,求直线l的方程.
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【题目】已知点Q是圆上的动点,点
,若线段QN的垂直平分线MQ于点P.
(I)求动点P的轨迹E的方程
(II)若A是轨迹E的左顶点,过点D(-3,8)的直线l与轨迹E交于B,C两点,求证:直线AB、AC的斜率之和为定值.
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【题目】从某公司生产线生产的某种产品中抽取件,测量这些产品的一项质量指标,由检测结果得如图所示的频率分布直方图:
(Ⅰ)求这件产品质量指标的样本平均数
和样本方差
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
近似为样本方差
.
(i)利用该正态分布,求;
(ii)已知每件该产品的生产成本为元,每件合格品(质量指标值
)的定价为
元;若为次品(质量指标值
),除了全额退款外且每件次品还须赔付客户
元。若该公司卖出
件这种产品,记
表示这件产品的利润,求
.
附:.若
,则
.
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