Question

【题目】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：＝1(a>b>0)的离心率为，且过点，点P在第四象限， A为左顶点， B为上顶点， PA交y轴于点C，PB交x轴于点D.

(1) 求椭圆 C 的标准方程；

(2) 求 △PCD 面积的最大值．

Answer 1

【答案】(1)＋y2＝1；(2)－1

【解析】

（1）由离心率，再把点坐标代入＝1，结合可求得，得椭圆标准方程；

（2）设直线方程为，可求得的坐标，由共线求得点坐标，这样可求得，令换元后用基本不等式求得最大值．

(1) 由题意得：得a2＝4，b2＝1，

故椭圆C的标准方程为：＋y2＝1.

(2) 由题意设lAP：y＝k(x＋2)，－ <k<0，所以C(0，2k)，

由消y得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，所以xAxP＝，

由xA＝－2得xP＝，故yP＝k(xP＋2)＝，

所以P，

设D(x0，0)，因B(0，1)，P，B，D三点共，所以kBD＝kPB，故＝，

解得x0＝，得D，

所以S△PCD＝SPAD－S△CAD＝×AD×|yP－yC|

＝＝，

因为－<k<0，所以S△PCD＝＝－2＋2×，

令t＝1－2k，1<t<2，所以2k＝1－t，

所以g(t)＝－2＋＝－2＋

＝－2＋≤－2＋＝－1，

当且仅当t＝时取等号，此时k＝，所以△PCD面积的最大值为－1.