Question

16．求和：${C}_{n}^{0}$${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{1}$${C}_{n}^{2}$+…+${C}_{n}^{n-1}$${C}_{n}^{n}$．

Answer 1

分析 由等式（1+x）ⁿ×（x+1）ⁿ=（1+x）²ⁿ，
取左右两边展开式中含x^n-1项的系数，得出${C}_{n}^{0}$•${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{1}$•${C}_{n}^{2}$+…+${C}_{n}^{n-1}$•${C}_{n}^{n}$的值是多少．

解答 解：∵（1+x）ⁿ×（x+1）ⁿ=（1+x）ⁿ×（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ，
取左右两边展开式中含x^n-1项的系数，则
（${C}_{n}^{0}$•${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{1}$•${C}_{n}^{2}$+…+${C}_{n}^{n-1}$•${C}_{n}^{n}$）•x^n-1=${C}_{2n}^{n-1}$•x^n-1，
∴${C}_{n}^{0}$•${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{1}$•${C}_{n}^{2}$+…+${C}_{n}^{n-1}$•${C}_{n}^{n}$=${C}_{2n}^{n-1}$=$\frac{（2n）!}{（n-1）!•（n+1）!}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，解题的关键是构造等式，利用二项式展开式定理解答，是基础题目．