Question

（2010•绵阳二模）已知数列{a_n}满足：a_n=log_n+1（n+2），n∈N^*，我们把使a₁•a₂•…•a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做数列{a_n}的理想数．给出下列关于数列{a_n}的几个结论：
①数列{a_n}的最小理想数是2．
②{a_n}的理想数k的形式可以表示为k=4ⁿ-2（n∈N^*）．
③对任意n∈N^*，有a_n+1＜a_n．
④

lim

n→+∞

an=0．
其中正确结论的序号为

①③

．

Answer 1

分析：由an=logn+1(n+2)=

log2(n+2)

log2(n+1)

，知a₁•a₂•…•a_k=log₂（n+2）．log₂（n+2）为整数的最小的n=2，数列{a_n}的最小理想数是2．{a_n}的理想数k的形式可以表示为k=2^n-1，对任意n∈N^*，有a_n+1＜a_n．

lim

n→+∞

an=1，故正确结论的序号为①③．

解答：解：an=logn+1(n+2)=

log2(n+2)

log2(n+1)

，
∴a₁•a₂•…•a_k=log₂（n+2）．
∵k∈N^*，∴log₂（n+2）为整数的最小的n=2，数列{a_n}的最小理想数是2．故①正确；
{a_n}的理想数k的形式可以表示为k=2^n-1，故②不成立；
对任意n∈N^*，有a_n+1＜a_n．故③成立；

lim

n→+∞

an=1，故④不成立．
故正确答案为①③．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．