Question

（本小题满分12分）设某物体一天中的温度是时间的函数：，其中温度的单位是，时间单位是小时，表示12:00，取正值表示12:00以后．若测得该物体在8:00的温度是，12:00的温度为，13:00的温度为，且已知该物体的温度在8:00和16:00有相同的变化率．
（1）写出该物体的温度关于时间的函数关系式；
（2）该物体在10:00到14:00这段时间中（包括10:00和14:00），何时温度最高，并求出最高温度；
（3）如果规定一个函数在区间上的平均值为，求该物体在8:00到16:00这段时间内的平均温度．

Answer 1

（1）（2）11:00和14:00时，该物体的温度最高，最高温度为（3）在8:00到16:00这段时间的平均温度为

试题分析：（1）根据条件，得，，，，
可以解得，
．                                              ……4分
（2），
当时，；
当时，．
在区间上单调递增，在上单调递减，即是极大值点．……8分
，
在10:00到14:00这段时间中，11:00和14:00时，该物体的温度最高，最高温度为．
（3）按规定，平均温度为，
即该物体在8:00到16:00这段时间的平均温度为．                       ……12分
点评：利用导数求解实际生活中的最值问题是高考常考考点，主要是函数模型的建立，对函数解析式的求导，判断单调性，求最值等.问题背景虽然各不相同，但函数模型有限，要总结规律，找出共同的分析思路和一般的解决方法，做到思路清晰，解法成熟，胸有成竹.