Question

设θ和φ是方程acosx+b sinx=c的二个根，且θ±φ≠2kπ（k∈Z），a、b、c≠0，求证：

a

cos θ+? 2

=

b

sin θ+? 2

=

c

cos θ-? 2

．

Answer 1

分析：把θ和φ代入方程，可得两个等式，把它们相减，通过和差化积可得即

a

cos θ+φ 2

=

b

sin θ+φ 2

；把两等式相加并根据

a

cos θ+φ 2

=

b

sin θ+φ 2

可得

b

sin θ+φ 2

=

c

cos θ-φ 2

，进而得证．

解答：解：∵θ和φ是方程acosx+bsinx=c的二个根
∴acosθ+bsinθ=c     ①
acosφ+bsinφ=c       ②
①-②得a（cosθ-cosφ）+b（sinθ-sinφ）=0
∴-2asin

θ+φ

2

sin

θ-φ

2

+2bcos

θ+φ

2

sin

θ-φ

2

=sin

θ-φ

2

（bcos

θ+φ

2

-asin

θ+φ

2

）=0
∵θ±φ≠2kπ
∴sin

θ-φ

2

≠0
∴bcos

θ+φ

2

-asin

θ+φ

2

=0，即

a

cos θ+φ 2

=

b

sin θ+φ 2

③
同理①+②得（acos

θ+φ

2

+bsin

θ+φ

2

）cos

θ-φ

2

=c   ④
把③代入④得

b

sin θ+φ 2

=

c

cos θ-φ 2

故

a

cos θ+? 2

=

b

sin θ+? 2

=

c

cos θ-? 2

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等式的证明．证明本题主要是通过和差化积公式完成的．