解:(1)∵
,其定义域为(0,+∞),
∴
. (3分)
∵x=1是函数h(x)的极值点,∴h'(1)=0,即3-a
2=0.
∵a>0,∴
. (6分)
经检验当
时,x=1是函数h(x)的极值点,
∴
. (8分)
(2)由题意,可知方程
在区间[e,e
2]上有根,因为
在[e,e
2]上是单调减函数,lnx在[e,e
2]上是单调增函数,(10分)
所以,
(14分)∴
(16分)
(3)对任意的x
1,x
2∈[1,e]都有f(x
1)≥g(x
2)成立,等价于对任意的x
1,x
2∈[1,e]都有[f(x)]
min≥[g(x)]
max. (7分)
当x∈[1,e]时,
.
∴函数g(x)=x+lnx在[1,e]上是增函数.
∴[g(x)]
max=g(e)=e+1.(9分)
∵
,且x∈[1,e],a>0.
①当0<a<1且x∈[1,e]时,
,
∴函数
在[1,e]上是增函数,
∴[f(x)]
min=f(1)=1+a
2.
由1+a
2≥e+1,得a≥
,
又0<a<1,∴a不合题意. (11分)
②当1≤a≤e时,
若1≤x<a,则
,
若a<x≤e,则
.
∴函数
在[1,a)上是减函数,在(a,e]上是增函数.
∴[f(x)]
min=f(a)=2a.
由2a≥e+1,得a≥
,
又1≤a≤e,∴
≤a≤e. (13分)
③当a>e且x∈[1,e]时,
,
∴函数
在[1,e]上是减函数.
∴
.
由
≥e+1,得a≥
,
又a>e,∴a>e. (15分)
综上所述,a的取值范围为
. (16分)
分析:(1)先函数h(x)的定义域,在对h(x)求导,由题意可知h′(1)=0,求出a的值
(2)φ(x)=f(x)-g(x)=
在[e,e
2]存在零点,转化为
,令
,结合两函数在区间上的单调性可知
,从而求出结果.
(3)若对任意的x
1,x
2∈[1,e]都有f(x
1)≥g(x
2)成立?f(x
1)
min≥g(x
2)
max,从而转化为分别求函数f(x),g(x)在[1,e]的最小值、最大值
点评:本题综合考查了极值存在的性质及零点判定定理的运用,函数的恒成立问题,解决此类问题常把问题进行转化,体现了转化的思想、方程与函数的思想的运用.属于中等难度的试题.