Question

已知函数，f（x）=

bx+c

ax2+1

（a，c∈R，a＞0，b是自然数）是奇函数，f（x）有最大值

1

2

，且．f（1）＞

2

5

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）是否存在直线l与y=f（x）的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）为奇函数可知f（-x）+f（x）=0，求得c=0； 依题意可知f（x）的最大值

1

2

必在x＞0时取得，利用基本不等式可求得f（x）≤得

b

2 a

=

1

2

，
于是a=b²，最后由

1

2

＜b＜2又a＞0，b是自然数可得a=b=1．
（2）假设存在，设出P（x₀，y0），得出Q点坐标，列出方程组求出x₀和y₀，即可得出答案．

解答：解：（1）由f（x）为奇函数得f（-x）+f（x）=0，即

bx+c

ax2+1

+

-bx+c

ax2+1

=0
∴c=0．
 又a＞0，b是自然数，
∴当x＜0时，f（x）＜0，
 当x＞0时，f（x）＞0，
故f（x）的最大值

1

2

必在x＞0时取得；
当x＞0时，f（x）=

bx

ax2+1

=

b

ax+ 1 x

≤

b

2 a

当且仅当ax=

1

x

，即x=

1

a

时取得

b

2 a

=

1

2

，即a=b²
又f（1）＞

2

5

∴2b²-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，

1

2

＜b＜2又a＞0，b是自然数可得a=b=1，
∴f（x）=

x

x2+1

（2）假设存在直线l与y=f（x）的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，
设P（x₀，y0）则Q（2-x₀，-y₀）所以

x0 x02+1 =y0 2-x0 (2-x0)2+1 =-y0

消去y₀，得x₀²-2x₀-1=0
解得：x₀=1±

2

，所以P点坐标为（1+

2

，

2

4

）或（1-

2

，-

2

4

），故对应Q点的坐标为（1-

2

，-

2

4

）或（1+

2

，

2

4

）
故过于P、Q两点的直线方程为：x-4y-1=0

点评：本题考查函数奇偶性的性质，考查基本不等式的应用，由基本不等式结合题意得到a=b²是关键，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．