Question

（本小题满分12分）
已知椭圆经过点，一个焦点是．
（I）求椭圆的方程；
（II）设椭圆与轴的两个交点为、，不在轴上的动点在直线上运动，直线、分别与椭圆交于点、，证明：直线经过焦点．

Answer 1

（本小题满分12分）
解：（I）方法1：椭圆的一个焦点是 ，
∴，            ………………（2分）
∵，∴，∴椭圆方程为 ………………（6分）
方法2：，可设椭圆方程为      ………………（2分）
∵在椭圆上，所以（舍去）
∴椭圆方程为                     ………………（6分）
（II）方法1：设、，，，

设是直线上一点，直线方程，方程，
代入得
解得，
∴，  ………………（8分）
代入得
解得，
∴，                     ………………（10分）
∵，∴，
∴、、三点共线，即直线通过上焦点．………………（12分）
方法2：∵、、三点共线，、、三点也共线，
∴是直线与直线的交点，
显然斜率存在时，设：，代入，
得，，，
直线方程，直线方程，
分别代入，得，，
∴，即，
，
∴对任意变化的都成立，只能，
∴直线通过上焦点．                      ………………（12分）

略