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设函数f(x)=
x+sinx
x

(Ⅰ) 判断f(x)在区间(0,π)上的增减性并证明之;
(Ⅱ) 若不等式0≤a≤
x-3
+
4-x
对x∈[3,4]恒成立,求实数a的取值范围M;
(Ⅲ)设0≤x≤π,且a∈M,求证:(2a-1)sinx+(1-a)sin(1-a)x≥0.
分析:(Ⅰ)求导函数f′(x)=
xcosx-sinx
x2
,x∈(0,π),设g(x)=xcos x-sin x,x∈(0,π),求导数,可得g(x)在(0,π)上为减函数,从而x∈(0,π)时,g(x)<0,进而可得f(x)在(0,π)上是减函数;
(Ⅱ) 先求得(
x-3
+
4-x
min=1,根据0≤a≤
x-3
+
4-x
对一切x∈[3,4]恒成立,即可求实数a的取值范围;
(Ⅲ)显然当a=0,1或x=0,π时,不等式成立.当0<a<1且0<x<π,原不等式等价于(1-a)sin(1-a)x≥(1-2a)sin x.先证明一个更强的不等式:(1-a)sin(1-a)x≥(1-2a+a2)sin x=(1-a)2sin x,再根据(1-2a+a2)sin x>(1-2a)sin x,即可得到结论.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=
sinx
x
+1,∴f′(x)=
xcosx-sinx
x2
,x∈(0,π).
设g(x)=xcos x-sin x,x∈(0,π),则g′(x)=-xsin x<0(∵x∈(0,π)).
∴g(x)在(0,π)上为减函数,又∵g(0)=0,
∴x∈(0,π)时,g(x)<0,
∴f′(x)=
g(x)
x2
<0,
∴f(x)在(0,π)上是减函数.(6分)
(Ⅱ)∵(
x-3
+
4-x
2=1+2
(x-3)(4-x)

∴x=3或4时,(
x-3
+
4-x
2min=1,
∴(
x-3
+
4-x
min=1.
又0≤a≤
x-3
+
4-x
对一切x∈[3,4]恒成立,
∴0≤a≤1.
(Ⅲ)证明:显然当a=0,1或x=0,π时,不等式成立.
当0<a<1且0<x<π,原不等式等价于(1-a)sin(1-a)x≥(1-2a)sin x.(10分)
下面证明一个更强的不等式:(1-a)sin(1-a)x≥(1-2a+a2)sin x=(1-a)2sin x ①
即sin(1-a)x≥(1-a)sin x. ②
亦即
sin(1-a)x
(1-a)x
sinx
x

由(1)知
sinx
x
在(0,π)上是减函数,
又∵(1-a)x<x,∴
sin(1-a)x
(1-a)x
sinx
x
.(12分)
∴不等式②成立,从而①成立.
又∵(1-2a+a2)sin x>(1-2a)sin x,∴(1-a)sin(1-a)x>(1-2a)sin x.
综上,∴0≤x≤π且0≤a≤1时,原不等式成立.(14分)
点评:本题考查导数知识的而运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,有一定的综合性.
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设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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设函数f(x)的定义域为A,若存在非零实数t,使得对于任意x∈C(C⊆A),有x+t∈A,且f(x+t)≤f(x),则称f(x)为C上的t低调函数.如果定义域为[0,+∞)的函数f(x)=-|x-m2|+m2,且 f(x)为[0,+∞)上的10低调函数,那么实数m的取值范围是(  )
A、[-5,5]
B、[-
5
5
]
C、[-
10
10
]
D、[-
5
2
5
2
]

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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f(-
3
4
) <f(
15
2
)

②当x∈[-1,0]时f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列;
④关于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7个不同的根.
其中真命题的个数为(  )

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科目:高中数学 来源:徐州模拟 题型:解答题

设函数f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函数y=f(x)图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
2
,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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