Question

9．如图一块长方形区域ABCD，AD=2，AB=1，在边AD的中点O处有一个可转动
的探照灯，其照射角∠EOF始终为$\frac{π}{4}$，设∠AOE=α，探照灯照射在长方形ABCD内部区域的面积为S；
（1）当$0≤α＜\frac{π}{2}$时，求S关于α的函数关系式；
（2）当$0≤α≤\frac{π}{4}$时，求S的最大值；
（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来
回”，忽略OE在OA及OC处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且$∠AOG=\frac{π}{6}$，求点G在“一个来回”中被照到的时间．

Answer 1

分析 （1）根据题意过点O作OH⊥BC于H．再讨论α的范围，可得当0≤α≤$\frac{π}{4}$时，E在边AB上，F在线段BH上，因此S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF；当$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$时，E在线段BH上，F在线段CH上，因此S=S_△OEF．由此即可得到当0≤α＜$\frac{π}{2}$时S关于α的函数表达式；
（2）利用基本不等式求出S的最大值，注意等号成立的条件；
（3）求出在“一个来回”中OE共转动的角度，并求出其中点G被照到时共转的角度，结合题意列式即可求出“一个来回”中点G被照到的时间．

解答 解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足
当$0≤α≤\frac{π}{4}$，E在边AB上，F在线段BH上（如图①），
此时，AE=tanα，FH=tan（$\frac{π}{4}$-α），∴S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF
$S=1-\frac{1}{2}tanα-\frac{1}{2}tan（\frac{π}{4}-α）$；
当$\frac{π}{4}＜α＜\frac{π}{2}$，E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），EH=$\frac{1}{tanα}$，FH=$\frac{1}{tan（\frac{3π}{4}-α）}$
$S=\frac{1}{2}（\frac{1}{tanα}+\frac{1}{{tan（\frac{3π}{4}-α）}}）$；

（2）当$0≤α≤\frac{π}{4}$，$S=1-\frac{1}{2}tanα-\frac{1}{2}tan（\frac{π}{4}-α）$；
即S=2-$\frac{1}{2}（1+tanα+\frac{2}{1+tanα}）$，∴0≤tanα≤1．即1≤1+tanα≤2．
$1+tanα+\frac{2}{1+tanα}≥2\sqrt{2}$，当tanα=-1时，S取得最大值为2-$\sqrt{2}$
（3）在“一个来回”中，OE共转了2×$\frac{3π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，其中点G被照到时，共转了2×$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，
∴在“一个来回”中，点G被照到的时间为9×$（\frac{π}{3}÷\frac{3π}{2}）$=2分钟；

点评 本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，同时考查了利用基本不等式求最值问题，属于中档题．