Question

已知a∈{1，2，3}，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l₁：ax+by=3，直线l₂：x+2y=2，解答下列问题：
（1）求两条直线相交的概率；
（2）求两条直线的交点在第一象限的概率．

Answer 1

分析：（1）当两条直线相交时，

a

b

 ≠ 

1

2

，a、b的所有取法共有3×6=18种，满足

a

b

 = 

1

2

的取法有 3种，故所求事件的概率为

18- 3

18

．
（2）先求出两直线的交点坐标为（

2b-6

b-2a

，

3-2a

b-2a

 ），再求出满足 

2b-6

b-2a

＞0 且

3-2a

b-2a

＞0 的（a，b ），共有7个，可得所求事件的概率．

解答：解：（1）当两条直线相交时，两条直线的斜率不相等，故-

a

b

≠-

1

2

，即

a

b

 ≠ 

1

2

．
a，b的所有取法共有3×6=18种，满足

a

b

 = 

1

2

的取法有 3种，
故所求事件的概率为

18- 3

18

=

5

6

．
（2）把直线l₁：ax+by=3和直线l₂：x+2y=2联立方程组解得交点坐标为（

2b-6

b-2a

，

3-2a

b-2a

 ）．
两条直线的交点在第一象限时，

2b-6

b-2a

＞0 且

3-2a

b-2a

＞0．
化简可得 

b＞2a b＞3 a＜ 3 2

 ①，或

b ＜ 2a b ＜ 3 a ＞ 3 2

 ②．
满足①的（a，b ） 有：（1，4）、（1，5）、（1，6），共3个．
满足②的（a，b ） 有：（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2），共4个．
故所求事件的概率等于

3+ 4

18

=

7

18

．

点评：本题考查等可能事件的概率，求出两条直线的交点在第一象限时，满足条件的（a，b ） 共有7个，是解题的关键．