Question

6．已知常数a＞1，变量x，y之间有关系式log_ax+3log_xa-log_xy=3，设x=a^t．
（1）用a、t表示y；
（2）若t≥1时，y有最小值8，求a与x的值．

Answer 1

分析 （1）由x=a^t，可得log_ax=t，log_xa=$\frac{1}{t}$，由于log_ax+3log_xa-log_xy=3，于是t+$\frac{3}{t}$-log_xy=3，化为log_xy=$t+\frac{3}{t}$-3，可得y=${a}^{{t}^{2}-3t+3}$．
（2）y=${a}^{（t-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$（a＞1）．由于t≥1时，y有最小值8，利用指数函数与二次函数的单调性可得：$t=\frac{3}{2}$时，函数f（x）=y取得最小值${a}^{\frac{3}{4}}$=8，即可得出．

解答 解：（1）∵x=a^t，∴log_ax=t，log_xa=$\frac{1}{t}$，
∵log_ax+3log_xa-log_xy=3，
∴t+$\frac{3}{t}$-log_xy=3，
化为log_xy=$t+\frac{3}{t}$-3，
∴y=${x}^{t+\frac{3}{t}-3}$=${a}^{t（t+\frac{3}{t}-3）}$=${a}^{{t}^{2}-3t+3}$．
（2）y=${a}^{（t-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$（a＞1）．
∵t≥1时，y有最小值8，
∴$t=\frac{3}{2}$时，函数f（x）=y取得最小值${a}^{\frac{3}{4}}$=8，
解得a=16．
∴a=16，x=$1{6}^{\frac{3}{2}}$=64．

点评 本题考查了对数的运算性质、换底公式、指数与对数函数的单调性、二次函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．