Question

在△ABC中，（1）若

CA

=a，

CB

=b，求证：S_△ABC=

1

2

(|a||b|)2-(a•b)2

；
（2）若

CA

=（a₁，a₂），

CB

=（b₁，b₂），求证：△ABC的面积S_△=

1

2

|a₁b₂-a₂b₁|．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面积公式表示出三角形的面积，再利用正余弦的平方关系及利用向量的数量积求向量夹角余弦求出三角形面积的另一形式．
（2）将（1）中的向量模及向量的数量积用坐标公式表示即可．

解答：证明：（1）设a、b的夹角为θ，△ABC的面积S_△=

1

2

|

CA

||

CB

|sinθ=

1

2

|a||b|sinθ．
∵sin²θ=1-cos²θ=1-（

a•b

|a||b|

）²，
∴S_△²=

1

4

（|a||b|）²sin²θ
=

1

4

（|a||b|）²[1-（

a•b

|a||b|

）²]
=

1

4

[（|a||b|）²-（a•b）²]．
∴S_△=

1

2

(|a||b|)2-(a•b)2

．
（2）记

CA

=a，

OB

=b，则a=（a₁，a₂），b=（b₁，b₂）．
∴|a|²=a₁²+a₂²，|b|²=b₁²+b₂²，
|a•b|²=（a₁b₁+a₂b₂）²．
由（1）可知S_△=

1

2

(|a||b|)2-(a•b)2

=

1

2

(a12+a22)(b12+b22)-(a1b1+a2b2)2

=

1

2

(a1b2-a2b1)2

，
∴S_△=

1

2

|a₁b₂-a₂b₁|．

点评：（1）是用数量积给出的三角形的面积公式；（2）是用向量坐标给出的三角形的面积公式．