Question

15．如图，正四棱锥P-ABCD各棱长都为2，点O，M，N，Q分别是AC，PA，PC，PB的中点．
（I）求证：PD∥平面QAC；
（Ⅱ）求三棱锥P-MND的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD，交AC于O，连结QO，则QO∥PD，由此能证明PD∥平面QAC．
（Ⅱ）∴三棱锥P-MND的体积V_P-MND=V_D-PMN=$\frac{1}{4}{V}_{D-PAC}$，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）连结BD，交AC于O，连结QO，
∵正四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，∴O是BD中点，
∵Q是PB中点，∴QO∥PD，
∵QO?平面QAC，PD?平面QAC，
∴PD∥平面QAC．
解：（Ⅱ）∵正四棱锥P-ABCD各棱长都为2，
点O，M，N，Q分别是AC，PA，PC，PB的中点，
∴AC=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，PO=$\sqrt{A{P}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$，
∴三棱锥P-MND的体积：
V_P-MND=V_D-PMN=$\frac{1}{4}{V}_{D-PAC}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．