Question

【题目】设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），对x∈R有f（x）+f（﹣x）=x2 ， 在（0，+∞）上f′（x）﹣x＜0，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，则实数m的取值范围是（ ）
A.[2，+∞）
B.（﹣∞，2]
C.（﹣∞，2]∪[2，+∞）
D.[﹣2，2]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由题意设g（x）=f（x）﹣ ， ∵对x∈R有f（x）+f（﹣x）=x2 ，
∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+f（﹣x）﹣x2=0，
则函数g（x）是R上的奇函数，
∵在（0，+∞）上f′（x）﹣x＜0，
∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0，则函数g（x）在（0，+∞）上递减，
由奇函数的性质知：函数g（x）在（﹣∞，+∞）上递减，
∵f（4﹣m）﹣f（m）=[g（4﹣m）+ ]﹣[g（m）+ ]
=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，
∴g（4﹣m）≥g（m），则4﹣m≤m，解得m≥2，
即实数m的取值范围是[2，+∞），
故选A．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．