Question

已知y=f（x）为R上的连续可导的函数，当x≠0时，f′(x)+

f(x)

x

＞0，则关于x的方程f(x)+

1

x

=0的根的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．0或2

Answer 1

分析：欲求关于x的方程f(x)+

1

x

=0的根的个数可转化成xf（x）+1=0的根的个数，令F（x）=xf（x）+1，根据条件讨论x的正负，得到函数的单调性，从而得到结论．

解答：解：∵当x≠0时，f′(x)+

f(x)

x

＞0，
∴

xf′(x)+f(x)

x

＞0
要求关于x的方程f(x)+

1

x

=0的根的个数可转化成xf（x）+1=0的根的个数
令F（x）=xf（x）+1
当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0即F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当x＜0时，xf′（x）+f（x）＜0即F′（x）＜0，∴F（x）在（-∞，0）上单调递减
而y=f（x）为R上的连续可导的函数
∴xf（x）+1=0无实数根
故选A．

点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，以及导数运算和分离讨论的思想，属于中档题．