Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点Pn(an，-

1

an+1

)（n∈N^*）在曲线f(x)=-

4+ 1 x2

上，且a₁=1，a_n＞0．
（1）求证：数列{

1

a 2 n

}是等差数列，并求a_n；
（2）数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足

Tn+1

a 2 n

=

Tn

a 2 n+1

+16n2-8n-3，设定b₁的值，使得数列{b_n}是等差数列；
（3）求证：Sn＞

1

2

4n+1

-1（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）、将点Pn(an，-

1

an+1

)（n∈N^*）代入f（x）的表达式中即可求出

1

a 2 n+1

-

1

a 2 n

为定值便证明了数列{

1

a 2 n

}是等差数列，将a₁=1，d=4代入即可求出an的表达式；
（2）将（1）中求得的a_n的通项公式代入（2）中的公式便可求出T_n的表达式，进而求得bn的通项公式，根据b_n的通项公式即可证明b_n为等差数列；
（3）根据（1）中求得的a_n的通项公式先证明an≥

1

2

（

4n+1

-

4n-3

），即可证明数列a_n的前n项和Sn＞

1

2

4n+1

-1（n∈N^*）．

解答：解：（1）由于y=-

4+ 1 x2

，点P(an，-

1

an+1

)在曲线y=f(x)上，
∴-

1

an+1

=f(an)=-

4+ 1 a 2 n

，并且an＞0∴

1

an+1

=

4+ 1 a 2 n

∴

1

a 2 n+1

-

1

a 2 N

=4(n∈N*)
∴数列{

1

a 2 n

}是等差数列，首项

1

a 2 1

=1，公差d=4．
∴

1

a 2 n

=1+4（n-1）
a_n²=

1

4n-3

，∵a_n＞0
∴a_n=

1

4n-3

（n∈N^*）…（3分）

（2）an=

1

4n-3

，

Tn+1

a 2 n

=

Tn

a 2 n+1

+16n2-8n-3，
得(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1)∴

Tn+1

4n+1

=

Tn

4n-3

+1，
令Cn=

Tn

4n-3

，如果C1=1，此时b1=T1=1∴Cn=1+(n-1)×1=n，n∈N*
则T_n=（4n-3）n=4n²-3n，n∈N^*，
∴b_n=8n-7，n∈N^*
又∵b_n+1-b_n=8
∴此时数列{b_n}是等差数列且b₁=1．…（6分）

（3）∵an=

1

4n-3

=

2

2 4n-3

＞

2

4n-3 + 4n+1

=

4n+1 - 4n-3

2

∴Sn=a1+a2+…+an＞ 1 2 [( 5 -1)+( 7 - 5 )+…+( 4n+1 - 4n-3 ] = 1 2 ( 4n+1 -1)n∈N*

…（10分）

点评：本题主要考查了数列的递推公式以及等差数列与不等式的结合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．