Question

已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为：（　　）

• A、8
• B、10
• C、20
• D、30

Answer 1

分析：由题设条件知，三棱锥的高是球的半径，而底面三角形的外接圆是球O的一个大圆，此关系使得求三棱锥P-ABC的体积时无需再考虑求球的半径，因其在求解中正好可以消去，使得此几何体的体积只与三角形的边长有关．

解答：解：P在面ABC上的射影为O，则OA=OB=OC=OP=R，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

abc

4R

∴V_P-ABC=

1

3

SABCR=

abc

12

=10，
故选B

点评：本题考点是棱柱、棱锥、棱台的体积，考查球内接多面体的几何特征，以及利用这些几何特征灵活组合达到简化解题的目的，本题由于注意三棱锥的高是其外接球的半径，而其底面三角形外接圆恰是球的大圆这一特征，使解体过程越过了求棱锥高，直接用三个边长把棱锥的体积表示出来，此题的解题过程提示我们，解题时一定要综合利用题设中所给的每一个条件进行合理的组合，组合出一个最佳的解题方案．