Question

3．已知函数$f（x）={x^2}+4[sin（θ+\frac{π}{3}）]•x-2$，θ∈[0，2π）
（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求$\sqrt{3}sinθ•cosθ+{cos^2}θ$的值．
（2）若f（x）在$[-\sqrt{3}，1]$上是单调函数，求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用偶函数的图形关于y轴对称，可得$sin（θ+\frac{π}{3}）=0$，求得θ，即可得到tanθ；再由同角的基本关系式，化为tanθ的式子，即可得到所求值；
（2）由题意可得$-2sin（θ+\frac{π}{3}）≥1$或$-2sin（θ+\frac{π}{3}）≤-\sqrt{3}$，结合正弦函数的图形和性质，计算即可得到所求范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）是偶函数，∴$sin（θ+\frac{π}{3}）=0$∴$θ+\frac{π}{3}=kπ（k=1，2）$（1分）
①tanθ=$tan（kπ-\frac{π}{3}）（k=1，2）=tan（-\frac{π}{3}）=-\sqrt{3}$（4分）
②$\sqrt{3}sinθ•cosθ+{cos^2}θ$=$\frac{{\sqrt{3}sinθ•cosθ+{{cos}^2}θ}}{{{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}=\frac{{\sqrt{3}tanθ+1}}{{{{tan}^2}θ+1}}=\frac{-3+1}{3+1}=-\frac{1}{2}$（7分）
（2）f（x）的对称轴为$x=-2sin（θ+\frac{π}{3}）$，
$-2sin（θ+\frac{π}{3}）≥1$或$-2sin（θ+\frac{π}{3}）≤-\sqrt{3}$，
$sin（θ+\frac{π}{3}）≤-\frac{1}{2}$或$sin（θ+\frac{π}{3}）≥\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（9分），
∵θ∈[0，2π），∴$θ+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，\frac{7}{3}π）$，
∴$\frac{π}{3}≤θ+\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，∴$\frac{7π}{6}≤θ+\frac{π}{3}≤\frac{11π}{6}$，
∴$0≤θ≤\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}≤θ≤\frac{3π}{2}$，
∴$θ∈[0，\frac{π}{3}]∪[\frac{5π}{6}，\frac{3π}{2}]$（12分）

点评 本题考查函数的奇偶性和三角函数的求值，考查函数的单调性的判断和运用，以及运算能力，属于中档题．