Question

已知函数f（x）=ln（a+x）-ln（a-x）（a＞0）．
（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，求a的值；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥2x+

2x3

3

，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求a的值；
（Ⅱ）当x≥0时，构造函数g（x）=f（x）-2x-

2x3

3

，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=

1

a+x

+

1

a-x

，
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率k=f′（0）=

1

a

+

1

a

=

2

a

=2，
解得a=1；

（Ⅱ）当x≥0时，设g（x）=f（x）-（2x+

2x3

3

），
则g′（x）=f′（x）-2-2x²=

1

a+x

+

1

a-x

-2-2x²=

2a

a2-x2

-2-2x²=

2

a2-x2

[x⁴-（a²-1）x²+a-a²]
①当0＜a＜1时，a²-1＜0，a-a²＞0，
当0≤x＜a时，x⁴-（a²-1）x²+a-a²＞0，即g′（x）≥0，
则函数g（x）在[0，a）上为增函数，
∴g（x）≥g（0）=0，即此时f（x）≥2x+

2x3

3

，成立．
②当a＞1时，a²-1＞0，a-a²＜0
∴0＜x＜

a2-1

＜a时，x²-（a²-1）＜0，
从而x⁴-（a²-1）x²+a-a²＜0，即g′（x）＜0，
即函数g（x）在（0，

a2-1

）上为减函数，
∴当0＜x＜

a2-1

时，g（x）＜g（0）=0，与题意不符，
综上当x≥0时，f（x）≥2x+

2x3

3

时．a的取值范围是0＜a＜1．

点评：本题主要考查导数的综合应用，利用导数的几何意义以及构造函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．