Question

设函数f(x)=ax+

a+1

x

 (a＞0)，g（x）=4-x，已知满足f（x）=g（x）的x有且只有一个．
（1）求a的值，并证明函数f（x）在（2，+∞）上为增函数；
（2）若函数h（x）=k-f（x）-g（x）（其中x∈（0，+∞），k∈R）在[m，n]上的值域为[m，n]（0＜m＜n），求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据方程f（x）=g（x）的x有且只有一个，得到关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式等于0，可以求出a的值，得到函数f（x）的表达式，最后用函数单调性的定义可以证明出函数f（x）在（2，+∞）上为增函数；
（2）将（1）中f（x）和g（x）的表达式代入，得h(x)=k-4-

2

x

，不难得出它是（0，+∞）上为增函数，在[m，n]上的值域为[m，n]说明h（m）=m，h（n）=n成立，
从而转化为一元二次方程x²-（k-4）x+2=0在（0，+∞）上有两个不等的实根x₁，x₂．最后利用根与系数的关系与根的判别式建立不等式组，解之得k的取值范围．

解答：解：（1）ax+

a+1

x

 =4-x，得（a+1）x²-4x+a+1=0（*）
由a＞0知x=0不是方程（*）的解，
故△=16-4（a+1）²=0，得a=1．…（2分）
设x₁＞x₂＞2，
可得：f(x1)-f(x2)=…=

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

＞0，…（4分）
所以，函数f（x）在（2，+∞）上为增函数．…（5分）
（2）h(x)=k-4-

2

x

在（0，+∞）上为增函数，…（6分）
h（x）在[m，n]上的值域为[m，n]，故有h（m）=m，h（n）=n，
所以h（x）=x在（0，+∞）上有两个不等的实根．…（7分）
得方程：k-4-

2

x

=x，即x2-(k-4)x+2=0
在（0，+∞）上有两个不等的实根x₁，x₂．
所以：

△=(k-4)2-8＞0 x1+x2=k-4＞0 x1x2=2＞0

，（9分）　
得k＞4+2

2

．…（11分）
所以k的取值范围为(4+2

2

， +∞)…（12分）

点评：本题着重考查了函数的单调性与函数的值域，以及一元二次方程根的分布等等知识点，属于中档题．解题时应该注意运用等价转化的思想和数形结合方法帮助理解．