Question

已知椭圆C的焦点为F1(-2

2

，0)，F2(2

2

，0)，且过点A（3，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线y=x+2交椭圆C于M，N两点，求线段MN的中点P坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆的方程，将A的坐标代入椭圆的方程得到关于a，b的等式，再根据椭圆的三个参数的关系列出关于a，b，c的另一个等式，解方程组求出a，b的值即得到椭圆的方程；
（Ⅱ）将直线与椭圆联立，消去y，运用韦达定理，设而不求的技巧，可求得线段AB的中点坐标．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知，c=2

2

，a²=b²+8
设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
即

x2

b2+8

+

y2

b2

=1，
∵点A（3，0）在椭圆上，
∴

32

b2+8

+

02

b2

=1，解得b²=1，
∴椭圆方程为：

x2

9

+y2=1；
（Ⅱ）联立方程组

x2 9 +y2=1 y=x+2

，消去y得10x²+36x+27=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），则x₁+x₂=-

18

5

，
∴x₀=

x1+x2

2

=-

9

5

，y₀=x₀+2=

1

5

，
∴线段MN的中点P坐标为（-

9

5

，

1

5

）．

点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，以及直线与椭圆的位置关系，简单运用韦达定理，设而不求解决问题，同时考查了运算求解的能力，属中档题．