Question

如图,三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都是2,又AA₁⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC₁的中点.

(1)求证:AE⊥平面A₁BD.
(2)求二面角D-BA₁-A的余弦值.
(3)求点B₁到平面A₁BD的距离.

Answer 1

(1)见解析  (2)   (3)

由AA₁⊥平面ABC可知,平面ABC⊥平面ACC₁A₁,故可考虑建立空间直角坐标系解决问题.
解：(1)以D为原点,DA所在直线为x轴,过D作AC的垂线为y轴,DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图,

则A(1,0,0),C(-1,0,0),E(-1,-1,0),A₁(1,-2,0),C₁(-1,-2,0),B(0,0,),B₁(0,-2,),
=(-2,-1,0),=(-1,2,0),=(0,0,-).∴·=2-2+0=0,
∴AE⊥A₁D,·=0,∴AE⊥BD.
又A₁D与BD相交于D,∴AE⊥平面A₁BD.
(2)设平面DA₁B的一个法向量为n₁=(x₁,y₁,z₁),
由⇒取n₁=(2,1,0).
设平面AA₁B的一个法向量为n₂=(x₂,y₂,z₂),
易得=(-1,2,),=(0,2,0),
则由⇒
取n₂=(3,0,).cos<n₁,n₂>==.
故二面角D-BA₁-A的余弦值为.
(3)=(0,2,0),平面A₁BD的法向量取n₁=(2,1,0),则点B₁到平面A₁BD的距离为d=||=.