Question

（2004•宁波模拟）（理）如图，在矩形ABCD中，AB=3

3

，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到点C'，且C'在平面ABD的射影O恰好在AB上．
（1）求证：BC'⊥面ADC'；
（2）求二面角A-BC'-D的大小；
（3）求直线AB和平面BC'D所成的角．

Answer 1

分析：（1）由DA?平面ABD，AB是BC‘在平面ABD内的射影，DA⊥AB，知DA⊥BC’，BC‘⊥DC’，由此可证BC‘⊥平面ADC’．
（2）由BC'⊥平面ADC'，知∠DC'A是二面角A-BC'-D的平面角，由BC‘⊥平面ABC’，DA⊥BC‘，DA⊥AB，知DA⊥面ABC'，DA⊥AC’，由此能求出二面角A-BC'-D的大小．
（3）作AM⊥DC'于M，连接BM，由BC‘⊥面ADC’，知面ADC‘⊥面BDC’，由AM⊥DC‘，知AM⊥面BC'D，故∠ABM是AB与平面BC'D所成的角，由此能求出AB与平面BC'D所成的角的大小．

解答：（理）（1）∵DA?平面ABD，
AB是BC‘在平面ABD内的射影，
DA⊥AB，
∴DA⊥BC’，BC‘⊥DC’，
∴BC‘⊥平面ADC’．…（4分）
（2）∵BC'⊥平面ADC'，
∴

BC′⊥C′D BC′⊥C′A

，
∴∠DC'A是二面角A-BC'-D的平面角…（6分）
∵BC‘⊥平面ABC’，
∴DA⊥BC‘，DA⊥AB，
∴DA⊥面ABC'，
∴DA⊥AC’．…（7分）
在Rt△AC'D中，sin∠DC'A=

DA

C′D

=

3

3 3

=

3

3

．
所以，二面角A-BC'-D的大小为arcsin

3

3

．…（8分）
（3）作AM⊥DC'于M，连接BM，
∵BC‘⊥面ADC’，
∴面ADC‘⊥面BDC’，
∵AM⊥DC‘，
∴AM⊥面BC'D，
∴∠ABM是AB与平面BC'D所成的角，…（10分）
在Rt△DAC'中，AM•DC'=AD•AC'，
∴AM=

AD•AC′

DC′

=

3•3 2

3 3

=

6

，…（11分）
在Rt△ABM中sin∠ABM=

AM

AB

=

6

3 3

=

2

3

，
所以，AB与平面BC'D所成的角为arcsin

2

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直，求二面角的大小，求直线与平面所成角的大小，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．