Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中左焦点F（-2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M关于直线y=x+1的对称点在圆x²+y²=1上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），M关于直线y=x+1的对称点为V（x₄，y₄）．与椭圆方程联立化为3x²+4mx+2m²-8=0．△＞0．可得x₃，y₃．再利用对称性可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{2}=\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}+1}\\{\frac{{y}_{4}-{y}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{3}}=-1}\end{array}\right.$，可得x₄，y₄．代入x²+y²=1．解出即可．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得c=2，a=2$\sqrt{2}$，b=1．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），M关于直线y=x+1的对称点为V（x₄，y₄）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为3x²+4mx+2m²-8=0．
∴△=96-8m²＞0⇒-2$\sqrt{3}$＜m＜2$\sqrt{3}$．
∴x₃=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2m}{3}$，y₃=x₃+m=$\frac{m}{3}$．
又$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{2}=\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}+1}\\{\frac{{y}_{4}-{y}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{3}}=-1}\end{array}\right.$，可得x₄=$\frac{m}{3}-1$，y₄=1-$\frac{2m}{3}$．
∵点V（x₄，y₄）在x²+y²=1上．
∴（$\frac{m}{3}$-1）²+（1-$\frac{2m}{3}$）²=1，
∴5m²-18m+9=0，
∴m=$\frac{3}{5}$或m=3，
经检验成立．
∴m=$\frac{3}{5}$或m=3．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、轴对称的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．