Question

18、设函数f（x）=e^x[x²-（1+a）x+1]（x∈R），
（I）若曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线与直线y=x+4平行．求a的值；
（II）求函数f（x）单调区间．

Answer 1

分析：（I）欲求a的值的大小，根据所给的切线方程，只须求出切线斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率进而得切线方程，最后与所给的方程比较即得a的值．
（II）欲求函数f（x）单调区间，先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即得．

解答：解：
（Ⅰ）f'（x）=e^x[x²-（1+a）x+1]+e^x（2x-1-a）=e^x[x²+（1-a）x-a]=e^x（x-a）（x+1）
由曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线与直线平行y=x+4，
得f'（0）=1，即e⁰（0-a）（0+1）=1，解得，a=-1．
（II）∵e^x＞0，令f'（x）=0，得x=a或x=-1．∴①若a=-1，f'（x）≥0，f（x）是增函数，增区间为（-∞，+∞）．（7分）
②若a＜-1，当x＜a或x＞-1时，f'（x）＞0，f（x）是增函数，增区间为（-∞，a），（-1，+∞）．
当a＜x＜-1时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，减区间为（a，-1）．（10分）
③若a＞-1，当x＜-1或x＞a时，f'（x）＞0，f（x）是增函数，增区间为（-∞，-1），（a，+∞）．
当-1＜x＜a时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，减区间为（-1，a）．（13分）

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．