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如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,

ABBC=BB1=3,DA1C1的中点,F在线段AA1上.

(1)AF为何值时,CF⊥平面B1DF

(2)设AF=1,求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

【解】 (1)因为直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥面ABC,∠ABC

B点为原点,BABCBB1分别为xyz轴建立如图所示空间直角坐标系.

因为AC=2,∠ABC=90º,所以ABBC=,

从而B(0,0,0),ACB1(0,0,3),A1C1DE

所以

AFx,则F(,0,x),

.

,所以       

要使CF⊥平面B1DF,只需CFB1F.

=2+xx-3)=0,得x=1或x=2,

故当AF=1或2时,CF⊥平面B1DF.……………… 5分

(2)由(1)知平面ABC的法向量为n1=(0,0,1).    

设平面B1CF的法向量为,则由

z=1得

所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值

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2
,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交于点D,B1C1的中点为M,求证:CD⊥平面BDM.

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(2)在线段AA1中上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF,若存在,求出|
AF
|;若不存在,说明理由.

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