已知点、,动点满足:,且
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)已知圆W: 的切线与轨迹相交于P,Q两点,求证:以PQ为直径的圆经过坐标原点.
(1);(2)证明详见解析.
解析试题分析:(1)针对点的位置:点在线段上、点在轴上且在线段外、点不在轴上进行分类确定点的轨迹,前两种只须简单的检验即可,当点不在轴上时,在中,应用余弦定理得,化简得到,再根据圆锥曲线的定义,可知动点在以为两焦点的椭圆上,由椭圆的相关参数即可写出椭圆的方程,最后综合各种情况写出所求轨迹的方程;(2)先验证直线斜率不存在与斜率为0的情形,然后再证明直线斜率存在且不为0的情况,此时先设直线,设点,联立直线与轨迹的方程,消去得到,进而求出及,得到,利用直线与圆相切得到,代入式子中,即可得到,从而问题得证.
试题解析:(1)①当点在线段上时
不存在或,均不满足题目条件 1分
②当点在轴上且在线段外时,
,设
由可得∴∴ 3分
③当点不在轴上时,
在中,由余弦定理得
,即动点在以为两焦点的椭圆上
方程为:()
综和①②③可知:动点的轨迹的方程为: 6分
(2)①当直线的斜率不存在时
∵直线与圆相切,故切线方程为或
切线方程与联立方程组
可求得
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=- (p>2).若拋物线C:y2=2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若拋物线上任意一点M处的切线l与直线l2交于点N,试问在x轴上是否存在定点Q,使Q点在以MN为直径的圆上,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点,且两条曲线都经过点.
(1)求这两条曲线的标准方程;
(2)已知点在抛物线上,且它与双曲线的左,右焦点构成的三角形的面积为4,求点 的坐标.
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已知椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点F1,F2和上下两个顶点B1,B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60°的菱形的四个顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F2的斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E、F两点,A为椭圆的右顶点,直线AE,AF分别交直线x=3于点M,N,线段MN的中点为P,记直线PF2的斜率为k′,求证: k·k′为定值.
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已知△的两个顶点的坐标分别是,,且所在直线的斜率之积等于.
(1)求顶点的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线;
(2)当时,过点的直线交曲线于两点,设点关于轴的对称点为(不重合), 试问:直线与轴的交点是否是定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.
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如图,矩形ABCD中,|AB|=2,|BC|=2.E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,分别以HF,EG所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,已知=λ,=λ,其中0<λ<1.
(1)求证:直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ:+y2=1上;
(2)若点N是直线l:y=x+2上且不在坐标轴上的任意一点,F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点,直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T.是否存在点N,使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP+kOQ+kOS+kOT=0?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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已知动直线与椭圆交于、两不同点,且△的面积=,其中为坐标原点.
(1)证明和均为定值;
(2)设线段的中点为,求的最大值;
(3)椭圆上是否存在点,使得?若存在,判断△的形状;若不存在,请说明理由.
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在平面直角坐标系中,已知分别是椭圆的左、右焦点,椭圆与抛物线有一个公共的焦点,且过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点是椭圆在第一象限上的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,,试证明为定值,并求出这个定值;
(III)在第(Ⅱ)问的条件下,作,设交于点,
证明:当点在椭圆上移动时,点在某定直线上.
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