已知点
、
，动点
满足：
，且
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）已知圆W：
的切线
与轨迹相交于P，Q两点，求证：以PQ为直径的圆经过坐标原点
.
（1）
；（2）证明详见解析.
解析试题分析：（1）针对
点的位置：点在线段
上、点在
轴上且在线段外、点不在轴上进行分类确定点的轨迹，前两种只须简单的检验即可，当点不在轴上时，在
中，应用余弦定理得
，化简得到
，再根据圆锥曲线的定义，可知动点在以
为两焦点的椭圆上，由椭圆的相关参数即可写出椭圆的方程，最后综合各种情况写出所求轨迹的方程；（2）先验证直线斜率不存在与斜率为0的情形，然后再证明直线斜率存在且不为0的情况，此时先设直线
，设点
，联立直线与轨迹
的方程，消去
得到
，进而求出
及
，得到
，利用直线与圆相切得到
，代入
式子中，即可得到
，从而问题得证.
试题解析：（1）①当点在线段上时
不存在或
，均不满足题目条件 1分
②当点在轴上且在线段外时，
，设
由可得
∴
∴
3分
③当点不在轴上时，
在中，由余弦定理得
，即动点在以为两焦点的椭圆上
方程为：（
）
综和①②③可知：动点的轨迹的方程为： 6分
（2）①当直线的斜率不存在时
∵直线与圆
相切，故切线方程为
或
切线方程与联立方程组
可求得
第1卷单元月考期中期末系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－
(p>2)．若拋物线C：y2＝2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若拋物线上任意一点M处的切线l与直线l2交于点N，试问在x轴上是否存在定点Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知抛物线
的焦点为双曲线
的一个焦点，且两条曲线都经过点
.
（1）求这两条曲线的标准方程；
（2）已知点
在抛物线上，且它与双曲线的左，右焦点构成的三角形的面积为4，求点 的坐标.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C：
＝1(a>b>0)的两个焦点F1，F2和上下两个顶点B1，B2是一个边长为2且∠F1B1F2为60°的菱形的四个顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F2的斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′，求证： k·k′为定值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知△
的两个顶点
的坐标分别是
，
，且
所在直线的斜率之积等于
．
（1）求顶点
的轨迹
的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；
（2）当
时，过点
的直线
交曲线
于
两点，设点
关于
轴的对称点为
(
不重合)， 试问：直线
与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，矩形ABCD中，|AB|＝2
，|BC|＝2．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知
＝λ
，
＝λ
，其中0＜λ＜1．
（1）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：
＋y2＝1上；
（2）若点N是直线l：y＝x＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F1、F2分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF1和NF2与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T．是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT满足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知动直线
与椭圆
交于
、
两不同点，且△
的面积
=
，其中
为坐标原点.
（1）证明
和
均为定值；
（2）设线段
的中点为
，求
的最大值；
（3）椭圆
上是否存在点
，使得
？若存在，判断△
的形状；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在平面直角坐标系
中，已知
分别是椭圆
的左、右焦点，椭圆
与抛物线
有一个公共的焦点，且过点
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设点
是椭圆在第一象限上的任一点,连接
,过点作斜率为
的直线
,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为
,
,试证明
为定值,并求出这个定值；
（III）在第(Ⅱ)问的条件下，作
，设
交
于点
，
证明:当点
在椭圆上移动时，点在某定直线上.
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过点
，离心率为
.
的方程；
且斜率为
的直线被椭圆所截得线段的中点坐标.